Identités de Bianchi

Les identités de Bianchi, ainsi désignées en l'honneur du mathématicien italien Luigi Bianchi, sont des équations satisfaites par le tenseur de Riemann ${R^{\alpha }}_{\beta \gamma \delta }$, objet mathématique qui reflète la courbure de la variété riemannienne sur laquelle il est calculé.

Histoire

L'éponyme des identités de Bianchi est le mathématicien italien Luigi Bianchi (1856-1928) qui les a dérivées en 1902.

Les identités ont été découvertes par Aurel Voss (1845-1931) dès 1880 puis, de manière indépendante, par Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) en 1889 et par Luigi Bianchi en 1902.

Seconde identité de Bianchi

Celle-ci est le pendant, pour le tenseur de Riemann, des équations de Maxwell pour le tenseur électromagnétique ${F^{\alpha }}_{\beta }$. Rappelons que le premier groupe d'équations de Maxwell s'écrit :

$F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }=0$

De même, la seconde identité de Bianchi s'énonce comme :

${R^{\alpha }}_{\beta \gamma \delta ;\epsilon }+{R^{\alpha }}_{\beta \delta \epsilon ;\gamma }+{R^{\alpha }}_{\beta \epsilon \gamma ;\delta }=0$

Comme ${R^{\alpha }}_{\beta \gamma \delta }={R^{\alpha }}_{\beta [\gamma \delta ]}$, cette identité peut se noter sous une forme « condensée » : ${R^{\alpha }}_{\beta [\gamma \delta ;\epsilon ]}=0$

Interprétation

Pourquoi l'identité de Bianchi ? (Schéma d'après Misner, Thorne et Wheeler, Gravitation, p. 372)

La figure à gauche aide à comprendre le pourquoi de l'identité de Bianchi. Lorsque, dans un espace courbe, le vecteur A est déplacé parallèlement à lui-même le long d'une des faces du cube élémentaire de dimensions {dx, dy, dz}, suivant l'une des flèches en bleu, il ne revient pas, en général, égal à lui-même à son point de départ, mais subit une « déformation » notée ici $\delta A$.

Dans le cas de la flèche bleu sombre, au premier ordre, on peut écrire que ce déplacement $\delta A$ vérifie :

$-\delta A^{\alpha }={R^{\alpha }}_{\beta yz}(x+dx)A^{\beta }dydz.$

La face opposée apporte une contribution opposée, à ceci près que ${R^{\alpha }}_{\beta yz}$ est maintenant évalué en $x$ plutôt qu'en $x+dx$. La somme de ces deux contributions donne :

${\frac {\partial {R^{\alpha }}_{\beta yz}}{\partial x}}A^{\beta }dxdydz={R^{\alpha }}_{\beta yz,x}A^{\beta }dxdydz.$

Le même raisonnement conduit sur la face située en haut (en z + dz) et en arrière (y + dy) donne la même équation en échangeant les rôles de x, y et z. Au total, en considérant les 3 doublets de faces opposées, on trouve :

$\delta A^{\alpha }={R^{\alpha }}_{\beta yz,x}+{R^{\alpha }}_{\beta zx,y}+{R^{\alpha }}_{\beta xy,z}$

Examinons maintenant la figure. Lorsque le vecteur A parcourt les six faces du cube, on voit que chaque arête est parcourue une fois dans un sens, et une fois dans l'autre (chaque face étant orientée ici dans le sens des aiguilles d'une montre). Les contributions élémentaires de chaque arête s'annulent donc deux à deux (car le tenseur de Riemann est un opérateur linéaire !). Ceci implique que la valeur totale de $\delta A$ sur l'ensemble du cube est nulle (« la frontière d'une frontière est de mesure nulle »).

On a donc, finalement :

${R^{\alpha }}_{\beta yz,x}+{R^{\alpha }}_{\beta zx,y}+{R^{\alpha }}_{\beta xy,z}=0$

c'est-à-dire l'identité de Bianchi. Le passage de la dérivée simple « , » à la dérivée covariante « ; » s'opère en considérant que l'on raisonne avec les coordonnées normales de Riemann, où les coefficients de Riemann-Christoffel s'annulent (${\Gamma ^{\alpha }}_{\beta \gamma }=0$), donc « , » = « ; ».

Bibliographie

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• [Bianchi 1902] (it) Luigi Bianchi, « Sui simboli a quattro indici e sulla curvatura di Riemann » [« Sur les symboles à quatre indices et sur la courbure de Riemann »] (note), Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti, Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, 5^e série, vol. XI,‎ 1^er semestre 1902, p. 3-5 (OCLC 935863580, zbMATH 33.0640.02, présentation en ligne, lire en ligne ).
• [Bourlès 2019] Henri Bourlès, Précis de mathématiques approfondies et fondamentales, t. III : Calcul différentiel, calcul tensoriel, géométrie différentielle, analyse globale, Londres, ISTE, coll. « Mathématiques et statistiques / nouvelles méthodes mathématiques, systèmes et applications », octobre 2019, 1^re éd., IX-430 p., 15,6 × 23,5 cm (ISBN 978-1-78405-634-6, EAN 9781784056346, OCLC 1130315144, SUDOC 240782844, présentation en ligne, lire en ligne).
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• [Voss 1880] (de) Aurel Voss, « Zur Theorie der Transformation quadratischer Differentialausdrücke und der Krümmung höherer Mannigfaltigkeiten », Mathematische Annalen, vol. XVI, n^o 2,‎ juin 1880, p. 129-178 (OCLC 914641702, DOI 10.1007/bf01446384, MR 1510020, zbMATH 12.0570.02, lire en ligne ).